,,Photonentransformatoren``
In ähnlicher Weise wie ein Fernsehapparat ein Bildschirm für unsichtbare Elektronenstrahlen ist, ist der Planetarische Nebel ein Bildschirm für die UV-Photonen seines Zentralsternes. Diese Aussage wird deutlich, wenn man den Prozeß, dem Planetarische Nebel unterliegen, im Detail betrachtet.
Der grundlegende Prozeß besteht darin, daß der Nebel nicht beobachtbare Lyman-Quanten des Zentralsternes absorbiert (führt zur Photoionisation) und in Folge von Rekombination und darauf folgender spontaner Emission beobachtbare Quanten emittiert. Dabei entspricht im zeitlichen Mittel die Anzahl der Ionisationen der Summe der Rekombinationen. Dieser Sachverhalt wird mit dem Begriff Ionisationsgleichgewicht beschrieben. Der Nebel fungiert gleichsam als Photonen-,,Transformator``.
Weiterhin geht man davon aus, daß der Nebel wegen seiner gro geometrischen Ausdehnung im Lyman-Kontinuum optisch dick ist und folglich alle vom Zentralstern emittierten ionisierenden Photonen absorbiert. Dies ist das Kernstück der hier verwendeten Theorie:
Pro Zeiteinheit entspricht die Anzahl der ionisierenden Photonen
der Zahl der Ionisationen und diese wiederum der Zahl der
Rekombinationen.
Mathematisch lä sich dieser Sachverhalt wie folgt darstellen:
Sei 
die Leuchtkraft des Sternes bei der Frequenz 
in erg/s/Hz. Die Anzahl der ionisierenden Quanten erhält man
dann, indem man 
durch ein Quant der Energie 
teilt
und über alle Frequenzen jenseits der Ionisationskante
(hier: Lyman-Kante für H oder He) integriert.
Die Anzahl der Rekombinationen hängt von der Elektronenzahldichte
, der Protonenzahldichte 
und dem totalen
Rekombinationskoeffizienten
abzüglich der Rekombination zum Grundzustand, 
, ab:
mit
Mit 
sieht man:
Die linke Seite von Gl.(1) kann man sich relativ einfach
beschaffen: das spektrale Verhalten des Zentralsterns ist im
Idealfall durch 
und 
bestimmt und kann (im einfachsten
Fall) durch die Planck-Funktion 
oder durch
eine Modellatmosphäre 
beschrieben werden.
Wenn es gelingt, die rechte Seite von Gl.(1) zu
berechnen, kann man durch einen einfachen Vergleich mit einem dieser
Modelle die Effektivtemperatur des Zentralsterns bestimmen.
Man benützt jetzt den ,,Bildschirmcharakter`` des Nebels und betrachtet
die beobachbare Grösse 
, mit
die die insgesamt emittierte Leuchtkraft einer bestimmten
Emissionslinie vom Niveau l nach 
(z.B. 
, l=4, 
)
beschreibt. 
ist die Besetzungszahl des oberen Niveaus der
Linie, 
der Einsteinkoeffizient der spontanen Emission.
Man teilt nun diese Grösse durch Gl.(1) und bekommt:
In der sogenannten ,,on the spot approximation`` nimmt man an, daß die Gleichung nicht nur über den ganzen Nebel sondern auch ,,lokal`` erfüllt ist, und man kann schreiben:
Gl.(3) enthält nun die bemerkenswerte Aussage, daß die Zahl der Photonen, die der Nebel in einer bestimmten Spektrallinie emittiert, proportional zur Zahl der Photonen ist, die der Zentralstern im Lyman-Kontinuum emittiert ( Zanstra, 1931, Publ.Dom.Astrophys.Obs. 4,209).
Mit der Beziehung:
(Die mit F bezeichneten Grösse beschreiben beobachtete
Flüsse, ,, ref`` bezieht sich auf eine beliebige
Referenzfrequenz
in einen Bereich ohne Emissionslinien, d.h. man sieht ausschliessich
die stellare Strahlung. Im visuellen Bereich verwendet
man i.a. 
. 
bezieht
sich auf
die gewählte Emissionslinie, üblicherweise H
oder He4686.)
kann man Gl.(3) zweckmä ssig umschreiben:
Z definiert dabei das sogenannte ,,Zanstra-Verhältnis``. Die linke Seite kann nun zur Bestimmung der Effektivtemperatur des Zentralsterns verwendet werden, entweder approximativ durch die Planckfunktion oder besser (?) mit dem Ergebnis einer Modellatmosphäre:
Trotz dieser nicht tricklosen Vorgehensweise
( Harman und Seaton, 1966,
MNRAS 132,15 für die speziell Interessierten) verbleibt uns
das Problem, die rechte Seite von Gl.(3) zu berechnen.
Dem wollen wir uns jetzt zuwenden.
Die eigentliche Schwierigkeit stellt dabei die Berechnung der
Besetzungszahlen dar. In Gl.(4) will man die Besetzungszahl
als Funktion der Dichten 
ausdrücken.
Man benötigt dafür die Gleichungen des
statistischen Gleichgewichts, die aber für Planetarische Nebel
wegen des extremen non-LTE (s.o.) besonders einfach sind. Zu
berücksichtigen sind lediglich die Rekombination und die
Kaskadierung zum Grundzustand.
wobei
Der physikalische Sachverhalt wird klarer, wenn man die
Wahrscheinlichkeit 
einführt, mit der ein direkter
Strahlungsübergang von 
nach l erfolgt:
Damit kann man Gl.(6) auf folgende Weise anschaulicher schreiben:
In der dargestellten Reihenfolge beschreiben die einzelnen Terme in den eckigen Klammern die Population des l-ten Levels durch:
über zwei Zwischenzustände 
Die eckige Klammer kann somit für hydrogenische Atome berechnet
und tabelliert werden (s.Tab.1). Die Tabellierung ist
so gehalten, daß die Ladungsabhängigkeit 
in der Temperatur
T des Plasmas bereits berücksichtigt ist.
wobei gilt: 
.
Setzt man dies in Gl.(4) ein, bekommt man sofort:
Die 
sind in Tab.2 für die wichtigsten H-- und
He--Linien angegeben.
Es verbleibt noch die erheblich mühsamere Berechnung der
Rekombinationskoeffizienten 
( Seaton, 1959, MNRAS 119,81), die aber durch folgende Formel
gut (zumindest für H und HeII) approximiert werden können:
Hierbei sind:
z die Kernladungszahl
Tabelle 1: Werte für 
Tabelle 2: Werte für
-- 
in Klammern
