Dirk Husfeld
Oktober 1997
Universitätssternwarte München
Institut für Astronomie und Astrophysik der
Ludwig-Maximilians-Universität München
Astrophysikalisches Praktikum
Doppelsterne
Dirk Husfeld, 08.10.1997
1 Einführung
Die große Bedeutung von Doppelsternen in der Astrophysik beruht
auf der Möglichkeit, aus der Kenntnis der Bahnparameter eines
Doppelsternsystems durch Anwendung des Gravitationsgesetzes die
Massen der beiden Komponenten zu ermitteln. Durch Vergleich
der so bestimmten Massen mit den entsprechenden Sternparametern
wurde so zum Beispiel empirisch die Masse-Leuchtkraft-Beziehung
für Hauptreihensterne gefunden.
- Welche anderen Möglichkeiten der Massenbestimmung
von Sternen gibt es noch?
Es erhebt sich aber die Frage, wie die Bahnparameter eines
Doppelsternsystems bestimmt werden können. Je nach
Beobachtungsmöglichkeit unterscheidet man vier Typen
von Doppelsternen.
- Visuelle Doppelsterne:
- In diesen Systemen sind beide
Sternkomponenten getrennt voneinander im Teleskop sichtbar.
Daher lassen sich die beiden scheinbaren Bahnen auch einzeln
vermessen. Bei bekannter Entfernung sind absolute Längen
bestimmbar.
- Wie kann bei visuellen Doppelsternen der
Inklinationswinkel i (das ist der Winkel zwischen Sehstrahl
und Rotationsachse) bestimmt werden?
- Spektroskopische Doppelsterne:
- Dieser Typ zeigt seine
Doppelsternnatur in spektroskopischen Aufnahmen. In Spektrogrammen
geringer Auflösung lassen sich gelegentlich die spektroskopischen
Merkmale zweier Spektraltypen ausmachen (sog. spektrale
Duplizität), die Annahme gravitativer Kopplung erfolgt dann
aufgrund statistischer Gesichtspunkte. Aufschlußreicher für
eine quantitative Auswertung sind hochauflösende Spektrogramme,
in denen eine Wellenlängenverschiebung der Spektrallinien
einer oder beider Sternkomponenten durch den Dopplereffekt
sichtbar ist. Bei Vorliegen einer Serie von Spektrogrammen
zu verschiedenen Phasen des Doppelsternumlaufs läßt sich
die Radialgeschwindigkeitskurve, kurz RGK erstellen,
das heißt, die graphische Darstellung der Geschwindigkeitskomponenten
entlang des Sehstrahles über der Phase des Doppelsternumlaufs.
Wenn die Radialgeschwindigkeiten beider Doppelsternkomponenten
sichtbar sind, kann das Massenverhältnis der beiden Sterne
bestimmt werden. Außerdem liefert die Integration der RGK
Information über die absoluten Abmessungen des Systems.
- Welche anderen Bahnparameter können noch
aus der RGK abgeleitet werden?
- Photometrische Doppelsterne:
- Bei diesen Sternen kommt
es bei geeignetem Inklinationswinkel zu teilweisen oder
vollständigen wechselseitigen Bedeckungen der Sternkomponenten,
die sich durch Helligkeitseinbrüche bei photometrischen
Beobachtungen bemerkbar machen. Diese Sterne werden deshalb
auch Bedeckungsveränderliche genannt. Das primäre
Beobachtungsergebnis bei solchen Sternen ist die Lichtkurve,
also die graphische Darstellung der Sternhelligkeit über der
Phase des Doppelsternumlaufs. Die wichtigsten daraus ableitbaren
Parameter sind - neben der Periode des Bahnumlaufs - der
Inklinationswinkel und die Sternradien relativ zum Bahnradius.
- Astrometrische Doppelsterne:
- Dieser Typ wird bei der
Astrometrie gefunden, d.h. bei der genauen Messung der
Sternkoordinaten. Sie zeigen regelmäßige Schwankungen
ihrer Himmelsposition, die durch einen Doppelsternorbit
erklärt werden. Dabei kann eine Komponente zu lichtschwach
sein, um beobachtbar zu sein; dann entspricht die beobachtete
Bewegung dem Bahnumlauf eines Sterns und kann prinzipiell
ähnlich dem Orbit eines visuellen Doppelsterns analysiert
werden. Ein nicht seltener Fall ist aber auch, daß beide
Doppelsternkomponenten zum beobachteten Licht beitragen,
aber zu eng benachbart sind und deshalb im Teleskop nicht
getrennt werden können. Die beobachtete Bewegung ist dann
die des Lichtschwerpunktes und liefert außer der Bahnperiode
keine anderen Parameter.
Nicht zu verwechseln mit den oben genannten Typen sind die
optischen Doppelsterne. Darunter werden zwei Sterne
verstanden, die von der Erde aus betrachtet zufällig eng
benachbarte Sehstrahlen haben. Sie stellen im physikalischen Sinne
gar kein Paar dar, weil sie nicht gravitativ aneinander gebunden sind.
Eine andere Typeinteilung von Doppelsternen ergibt sich
aus ihrem Aufbau, insbesondere der Größe der Einzelkomponenten
im Verhältnis zu ihrem Abstand. Dazu sei zunächst der
Begriff der Roche-Flächen eingeführt. Es handelt
sich dabei um Äquipotentialflächen in einem Potential,
das sich aus den Schwerkrafteinflüßen der beiden Sternen
sowie aus der Fliehkraft im mitrotierenden Koordinatensystem
ergibt. Die Fläche des niedrigsten Potentials, die beide
Sterne umfaßt, wird als innere Roche-Fläche bezeichnet.
Für geringere potentielle Energien gehört ein Testteilchen
eindeutig zu einem der beiden Sterne, für
höhere Energien nur noch zu beiden Sterne gemeinsam oder
gar nicht mehr zum System. Die äußere Roche-Fläche
entspricht der Äquipotentialfläche, bei der ein Testteilchen
gerade noch gebunden ist. Im Querschnitt entlang der
Verbindungslinie zwischen den beiden Sternen hat die innere
Roche-Fläche eine achtförmige Gestalt, die äußere die
einer Erdnuß. Siehe dazu auch Abb.1.
Aufgrund ihrer Gestalt definiert die innere Roche-Fläche
zwei Volumina, die von ihr umschlossen werden. Diese
Roche-Volumina enthalten je eine Sternkomponente. Es sind
nun drei Fälle möglich:
- Getrennte Systeme:
- Beide Sternkomponenten sind kleiner
als ihre jeweiligen Roche-Volumina, ihre Oberflächen berühren
die innere Roche-Fläche nicht. In fast allen Fällen sind die
Sterne deutlich kleiner als ihr Roche-Volumen, und man kann
in guter Näherung von einer kugelförmigen Sterngestalt
ausgehen.
- Halbgetrennte Systeme:
- Einer der beiden Sterne füllt
sein Roche-Volumen aus, während der andere dieses nicht tut.
Da das Roche-Volumen keine Kugelgestalt besitzt, ist auch der
erstgenannte Stern nicht kugelförmig. Eine solche Konfiguration
entsteht in der Regel dann, wenn sich dieser Stern in einem
Riesenstadium seiner Entwicklung befindet. Da die Aufblähung
des Sterns nicht endet, wenn die Oberfläche die Roche-Fläche
erreicht, wird Materie durch den inneren Lagrangepunkt L1
auf den Begleitstern überströmen.
- Kontaktsysteme:
- Beide Sterne füllen ihr jeweiliges
Roche-Volumen aus. Bei weiterer Ausdehnung können die
Oberflächenschichten nur in den Raum jenseits der inneren
Roche-Fläche ausweichen. Solange sie dabei nicht die
äußere Roche-Fläche überschreitet, bleibt diese Materie
aber als gemeinsame Hülle (common envelope) beider
Sterne dem System erhalten. Die Dicke dieser Hülle wird
üblicherweise durch den fillout factor f ausgedrückt,
der definiert ist durch
f = |
Winner-W
Winner-Wouter
|
. |
|
Dabei sind W, Winner und Wouter
die Potentiale der Hüllenoberfläche, der inneren und der
äußeren Roche-Fläche. Ein typischer Wert für den fillout
beträgt f = 0.17.
Die Unterschiede zwischen den genannten Typen machen sich
hauptsächlich in der Lichtkurve bemerkbar. Aufgrund der
Form der Lichtkurve werden drei Arten von Bedeckungsveränderlichen
unterschieden.
- Algol-Variable:
- Die Lichtkurve zeigt keine oder nur
eine geringe Variation der Helligkeit zwischen den Minima.
Die Minima sind scharf begrenzt, die Kontaktpunkte gut
definiert. Solch eine Lichtkurve wird typischerweise von
einem getrennten System hervorgerufen. Es sei aber nicht
verschwiegen, daß der Prototyp Algol (b Persei) selbst
ein halbgetrenntes System ist.
- b Lyrae-Variable:
- Die Lichtkurve zeigt eine
deutliche Helligkeitsvariation zwischen den Minima, die
durch die asphärische Form der einen Sternkomponente in
einem halbgetrennten System hervorgerufen wird. Die Minima
sind weniger scharf begrenzt als bei Algol-Variablen.
- W UMa-Variable:
- Die Lichtkurve zeigt keine Abschnitte
(nahezu) konstanter Helligkeit mehr, die Minima sind ungefähr
gleich tief, das Nebenminimum tritt immer bei Phase 0.5 auf.
Es handelt sich hierbei um Kontaktsysteme.
Eine Gegenüberstellung von Konfiguration und resultierender
Lichtkurve zeigt Abb.2.
2 Auswertung der Beobachtungen
Dieser Abschnitt beschreibt die Auswertung der mit dem
Väisälä-Spiegel gemachten Beobachtungen eines
Bedeckungsveränderlichen. Dazu gehört
die Standardreduktion der CCD-Aufnahmen, die Vermessung
der Sterne auf den CCD-Aufnahmen zur Bestimmung der
Helligkeiten, die Erstellung der Lichtkurve aus den eigenen
Daten und der Vergleich mit Daten aus der Literatur, sowie
schließlich die Bestimmung der Bahn- und Sternparameter
mit Hilfe eines Simulationsprogramms.
2.1 Datenreduktion
Die CCD-Aufnahmen sind um dark current, bias und
flat-field entsprechend der Anleitung ``Beobachtungen
mit der CCD-Kamera'' zu korrigieren. Aus den korrigierten
Bildern sind dann mittels des MIDAS-Befehls magn/cir
die Helligkeiten des untersuchten Bedeckungsveränderlichen
und einiger Vergleichssterne zu ermitteln. (Von einer der
CCD-Aufnahmen sollte ein Bildschirmausdruck angefertigt und
darauf der untersuchte Stern und die Vergleichssterne markiert
werden.) Eine Einführung in MIDAS ist ebenfalls in der oben
erwähnten Anleitung zu finden. Bei der Benutzung des
magn/cir ist darauf zu achten, daß die Apertur (innerhalb
derer die Sternhelligkeit integriert wird) gross genug gewählt
wird, um auch die Streulichtflügel des Sternprofils zu erfassen.
Andererseits darf die Apertur auch nicht so groß sein, daß
andere Sterne mit erfaßt werden.
Der magn/cir-Befehl liefert direkt Helligkeitsangaben in
Magnituden. In jeder CCD-Aufnahme ist für jeden Vergleichsstern
die Differenz Dmi = m - mi zu bilden, wobei m die
Magnitude des Veränderlichen und mi die des i-ten
Vergleichsstern ist. Zwischen Magnituden m und Strahlungsflüßen F
kann mittels
umgerechnet werden.
Aus dem Vergleich der verschiedenen Dmi-Serien kann auf die
Genauigkeit der Einzelwerte geschlossen werden.
Zur Erstellung der Lichtkurve müssen die Beobachtungszeitpunkte
der CCD-Aufnahmen auf die Phase des Bedeckungsveränderlichen
umgerechnet werden. Dazu sind die Zeitpunkte zunächst von
Mitteleuropäischer (Sommer-)Zeit in Julianische Tage
zu transformieren. Eine Anleitung dafür findet sich in
Anhang I. Anschließend wird anhand der
Epoche eines beobachteten Hauptminimums und der Periode
des Veränderlichen auf die Phase umgerechnet.
- AB And:
- Für diesen Stern findet sich in der Literatur
eine Reihe verschiedener Angaben. Nach Maupomé et al
(1991) beträgt die Epoche des Minimums Tmin =
JD 2440128.7945 und die Periode P = 0.33189114 d. Bei
Demircan et al (1994) finden sich Tmin =
JD 2448884.4315 und P = 0.33189121 d. Ebenfalls von
Demircan et al (1994) stammt folgende nichtlineare
Formel für die Zeiten des Hauptminimums:
Tmin = JD 2425497.4805 + 0.3318890 ×E + 0.0580 ×sin( 0.00006491 E - 3.115629 ). |
|
(Dabei ist E die Zahl der seit der Stammepoche verstrichenen
Perioden.)
Zur Einschätzung dieser Angaben sollen für einen
Beobachtungszeitpunkt die Phasen nach diesen drei Angaben
berechnet und miteinander verglichen werden. Welchen Schluß
muß man daraus für eigene Beobachtungen ziehen? Bei der
endgültigen Erstellung der Lichtkurve ist die letztgenannte,
nichtlineare Formel zu verwenden.
- 44i Boo:
- Die Umlaufszeit dieses Doppelsterns (der zusammen
mit einer helleren und massereicheren Komponente das visuelle
Mehrfachsystem ADS 9494 bildet) wächst kontinuierlich an
(Oprescu et al, 1996, IBVS No.4307).
Von Oprescu et al (1991, IBVS No.3560)
stammt die neueste Ephemeride:
Tmin = JD 2443604.5880 + 0.26781856 ×E . |
|
Alternativ sollten auch die linearen und parabolischen Fits
von Rovithis & Rovithis-Livaniou (1990, A&A Suppl. 86,523)
getestet werden:
Tmin = JD 2439852.4644 + 0.2678176 ×E |
|
Tmin = JD 2439852.4927 + 0.26781464 ×E + 7.21·10-11 ×E2 . |
|
- VW Cep:
- Auch dieser Bedeckungsveränderliche ist
Bestandteil eines Dreifachsystems. Seine Umlaufsdauer wird
allmählich kürzer. Die neuesten Ephemeriden stammen von
Navratil (1994, IBVS N.3997)
Tmin = JD 2448862.5255 + 0.27831460 ×E |
|
und Aluigi et al (1994, IBVS No.4117)
Tmin = JD 2448862.5220 + 0.2783076 ×E . |
|
Aus den verschiedenen Lichtkurven (für jeden Vergleichsstern
eine) ist eine gemittelte Lichtkurve zu erstellen. Diese ist
mit einer Lichtkurve, die aus Literaturangaben erzeugt wurde,
zu vergleichen (s. Abb.3, 5 und 6).
2.2 Erste Abschätzungen
Bevor die Parameter des Bedeckungsveränderlichen mit dem
Simulationsprogramm bestimmt werden, ist es vorteilhaft,
gute Startwerte für zumindestens die wichtigsten Parameter
zu erhalten.
Den Lichtkurve in den Abb.3, 5 und 6 zufolge handelt es sich
bei allen Sternen um W UMa-Veränderliche. Ein guter
Startwert für den fillout factor eines solchen Systems
wurde bereits oben angegeben. Der Temperaturunterschied
der beiden Komponenten in W UMa-Sternen beträgt
typischerweise 200 K. Die Temperatur des Hauptsterns läßt
sich aus den Spektraltypen mit Hilfe der Tabelle im Anhang II
erschließen:
- AB And:
- Aus dem Spektrum des Stern (s. Abb.4)
folgt der Spektraltyp G5 v.
- 44i Boo:
- Für den Hauptstern dieses Systems wird ein
Spektraltyp von G7 v angegeben.
- VW Cep:
- Die massereichere Komponente dieses Systems hat
einen Spektraltyp von G9 v.
Aus der RGK in Abb.3 kann auf das Massenverhältnis der
beiden Sternkomponenten von AB And geschlossen werden.
Zu beachten:
Ist der massereichere Stern des beobachteten Systems die
kühlere oder heißere Komponente?
Die Tatsache, daß es zu Bedeckungen kommt, läßt auf
einen Inklinationswinkel i von etwa 90 Grad schließen.
2.3 Parameterbestimmung mittels Simulationsprogramm
Zur feineren Parameterbestimmung wird das Simulationsprogramm
Binary Maker 2.0 verwendet, das ausgehend von den Parametern
eines Doppelsternssystems dessen Lichtkurve, RGK und
Spektrallinienform berechnen kann. Das Programm läuft
interaktiv unter dem Betriebssystem DOS und wird über
Menübalken gesteuert. Durch Vergleich der beobachteten
Lichtkurve mit der berechneten sind die Parameter des
simulierten Systems schrittweise zu verbessern. Bei
zufriedenstellender Übereinstellung der Lichtkurve kann
man die Parameter des beobachteten Sterns mit denen der
Simulation identifizieren.
Zunächst muß es darum gehen, die Reaktion der berechneten
Lichtkurve auf Änderungen der Parameter zu verstehen. Dazu
wird eine Lichtkurve mit den zuvor abgeschätzten Parametern
gerechnet. Anschließend werden die Parameter T2 (Temperatur
des Sekundärsterns), f (fillout factor) und i
(Inklinationswinkel) separat variiert und die so erhaltenen
Lichtkurve mit der des Ausgangssystems verglichen. Im einzelnen
ist folgendes zu tun:
- Start des Simulationsprogramms: Auf der DOS-Kommandozeile
ist im Verzeichnis c:\ das Kommando binmak
einzutippen und die Entertaste zu drücken. Das Programm
initialisiert den Graphikmodus und präsentiert nach wenigen
Sekunden den Startbildschirm.
- Setzen des Fillout-Modus: Das Programm akzeptiert mehrere
Möglichkeiten, die Geometrie des Systems zu definieren. Um
eine Eingabe des fillout factors zu ermöglichen, ist
im Menü Run der Punkt Enter fillout zu selektieren
und die Entertaste zu drücken.
- Definition der Systemparameter: Im Run-Menü ist
der Punkt Light Curves zu selektieren. Das Programm
fragt der Reihe nach folgende Angaben ab:
- latitude grid number:
- Die Zahl der Stützstellen von
Pol zu Äquator zur Modellierung eines (nahezu) kugelförmigen
Sterns. Für schnelle Übersichtsrechnungen kann hier 10
eingegeben werden, für höhere Präzision sollte 20 gewählt
werden.
- longitude grid number:
- Entsprechend die Zahl der
Stützstellen entlang des Äquators. Für Übersichtsrechnungen
20, sonst 40 eingeben.
- mass ratio:
- Das Massenverhältnis der beiden Sterne.
- fillout factor:
- (wie oben definiert)
- wavelength:
- Die mittlere Wellenlänge des Frequenzbandes,
in dem die photometrischen Beobachtungen gemacht wurden. Die
Voreinstellung von 5500 Angström kann übernommen werden.
- temperature 1:
- Die Temperatur des Hauptsterns in Kelvin.
- temperature 2:
- Die Temperatur des Sekundärsterns in Kelvin.
Jetzt berechnet das Programm die Geometrie des Modells.
Der Fortschritt der Berechnung wird hier (und in einigen folgenden
Schritten) durch einen Laufbalken angezeigt. Anschließend
stellt das Programm die Geometrie des Systems auf dem Bildschirm
dar.
- inclination:
- Der Inklinationswinkel, unter dem der
Beobachter auf das System schaut.
- normalization phase:
- Die Phase des Bahnumlaufs, bei
die größte Helligkeit erreicht wird. Der Voreinstellungswert
0.25 sollte akzeptiert werden.
- phase increment:
- Der zeitliche Abstand zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Berechnungen in Einheiten der Umlaufsperiode.
Für Übersichtsrechnungen kann 0.02 eingesetzt werden, für
genauere Rechnungen ist 0.01 oder kleiner zu empfehlen.
Achtung! Das Programm kann maximal 215 Zeitpunkte speichern!
Nach Eingabe dieser Daten beginnt das Programm mit der Simulation.
Bei jedem Zeitschritt wird die entsprechende Ansicht des Systems,
wie sie sich dem Beobachter präsentiert, dargestellt. Gleichzeitig
werden im Fenster links oben die Lichtkurve, links unten die RGK
aufgebaut. Bei Übersichtsdarstellungen (Gitterpunkte 10×20,
Zeitschritt 0.02) dauert ein Umlauf etwa eine Minute, bei höheren
Auflösungen entsprechend länger. Nach Durchlauf einer ganzen
Periode wartet das Programm, bis die Escape-Taste gedrückt wird.
Danach kann man bestimmen, was auf Platte gesichert werden soll.
- Save any of your plots?
- Wenn diese Frage verneint wird,
überspringt das Programm die nächsten zwei (!) Fragen.
- Save screen image to disk?
- Bei Antwort mit ``y''
fragt das Programm nach einem Filenamen ohne Namenserweiterung.
Ein Abbild der Bildschirmanzeige wird in mehreren Dateien auf
der Platte gespeichert. Dieses Abbild kann zu späteren Zeiten
durch Plots/See Image files wieder auf dem Bildschirm
dargestellt werden.
- Turn Picture into PostScript file?
- Wenn diese Frage
bejaht wird, zeigt das Programm eine Auswahlbox an. In ihr
kann aus mehreren Möglichkeiten der Plotdarstellung gewählt
werden (z.B. Gesamtbild, Lichtkurve alleine, RGK alleine usw.).
Bei jeder Auswahl ist ein Filename ohne Namenserweiterung anzugeben.
Nach der Abspeicherung jedes Bildes wird die Auswahlbox erneut
dargestellt, bis Auswahl ``6'' oder ``q'' gewählt wird, um
den Dialog zu beenden.
- Save light curve to disk?
- Wenn diese Frage mit ``y''
beantwortet wird, schreibt das Programm die Lichtkurvendaten
auf Platte. Zuvor muß der zu verwendende Filename inklusive
einer eventuellen Namenserweiterung eingegeben werden. Da
beim erstmaligen Durchlauf des Programms die Lichtkurve erzeugt
wird, die mit späteren Simulationen verglichen werden soll,
muß hier die Frage bejaht werden!
- Revolve star again?
- Hier hätte man durch Bejahen der
Frage die Möglichkeit, Inklinationsweise, Normalisierungsphase
und Zeitschrittweite erneut zu definieren und einen neuen
Umlauf des Systems zu starten. Hier sollte zunächst mit ``n''
geantwortet werden, um zum Startbildschirm des Programms
zurückzukehren.
- Laden der soeben erzeugten Lichtkurve: Durch
File/Read Data File, Selektion von ``2'' in der folgenden
Auswahlbox und Eingabe des Filenamens wird die eben erzeugte
Lichtkurve wieder geladen. Sie wird ab jetzt aber als
Hintergrund in den weiteren, noch zu berechnenden
Lichtkurvenplots dargestellt und erlaubt den direkten
Vergleich zweier Lichtkurven.
- Variation der T2-Temperatur: Zur Berechnung einer
neuen Lichtkurve mit geänderter Temperatur T2 des
Sekundärsternes wird wieder Run/Light Curves gestartet.
Die vorher eingegebenen Parameterwerte erscheinen jetzt als
Vorgabewerte und können direkt durch Drücken der Entertaste
übernommen werden. Lediglich bei der Frage nach
temperature 2 ist selbstverständlich ein entsprechend
abgeänderter Wert einzugeben. Nach erfolgter Berechnung
eines Bahnumlaufs sollte die Lichtkurve als PostScript-File
abgespeichert werden.
- Variation des fillout factors : Entsprechend,
nur muß f auf einen abgeänderten Wert und T2 auf den
ursprünglichen Wert gesetzt werden. Die Lichtkurve ist
wieder abzuspeichern.
- Variation des Inklinationswinkels: Entsprechend, nur
f zurück auf den alten und i auf einen geändertern Wert
setzen. Lichtkurve abspeichern.
Um die gespeicherten PostScript-Files auszudrucken, ist
die Hilfe des Betreuers vonnöten!
Im folgenden soll die beobachtete Lichtkurve
des veränderlichen Sterns als Vergleich dargestellt
werden. Dazu ist (vom Startbildschirm des Programms) wieder
File/Read Data File zu starten, Auswahl ``2'' zu
selektieren und der Filename
- abandv.dat
- für AB And
- 44iboov.dat
- für 44i Boo, und
- vwcepv.dat
- für VW Cep
einzugeben, um die beobachtete Lichtkurve des zu untersuchenden
Sterns im Hintergrund darzustellen. Es ist wieder die
synthetische Lichtkurve für die oben
diskutierten Startparameter zu rechnen und diese Kurve mit
den Beobachtungsdaten zu vergleichen. Es werden sich vermutlich
Unterschiede zeigen. Anhand der vorher erstellten
Lichtkurvenplots überlege man
sich eine Strategie, mit der die Parameter T2, f und i
zu ändern sind, um die Unterschiede zu minimieren. Welche
Parameter erhält man nach erfolgter Optimierung? Wie genau
sind diese Parameter festgelegt (Fehlergrenzen)? Den
augenblicklichen Parametersatz kann man sich vom Startbildschirm
des Programms aus unter File/See Brief Data Table
am Bildschirm anschauen bzw. durch File/Print Total Data
Table in einen File ausgeben lassen.
Anhang I: Julianisches Datum
Die folgende Methode zur Berechnung des Julianischen Datums aus
der Tagesangabe (Jahr, Monat, Tag) im Gregorianischen Kalender
und der Uhrzeitangaben (Stunde, Minute, Sekunde) in Universal Time
(UT) stammt von Montenbruck und Pfleger, "`Astronomie mit dem
Personalcomputer"', Springer-Verlag, 1989.
- Die Jahreszahl JAHR darf nicht abgekürzt werden,
sondern muß vollständig angegeben werden. (Also 1998, nicht 98.)
- Für die Monatszahl MONAT sind die Werte 1, 2, 3...
für die Monate Januar, Februar, März... einzusetzen.
- Wenn MONAT kleiner als 3 ist, so muß MONAT um
12 erhöht und JAHR um eins erniedrigt werden.
- Berechne die Hilfsvariable TMP1 mittels
TMP1 = |
ê ê
ê
|
|
JAHR
400
|
|
ê ê
ê
|
- |
ê ê
ê
|
|
JAHR
100
|
|
ê ê
ê
|
+ |
ê ê
ê
|
|
JAHR
4
|
|
ê ê
ê
|
|
|
Dabei bedeuten die vertikalen Striche, daß von dem eingeklammerten
Ausdruck der ganzzahlige Anteil zu nehmen ist. (Also |4.74| = 4.)
Für die Jahre von 1996 bis 1999 hat TMP1 den Wert 484, für die
Jahre 2000-2003 den Wert 485. Achtung: Hier ist der Wert der
Variable JAHR gemeint, der unter Umständen von der normalen
Jahreszahl abweichen kann (s.o.).
- Berechne die Hilfsvariabe TMP2:
TMP2 = | 30.6 *(MONAT+ 1) | |
|
- Berechne die Hilfsvariable TMP3:
TMP3 = (STUNDE+ MINUTE/60 + SEKUNDE/3600)/24 |
|
Wenn es lediglich um die Julianische Tagesnummer geht und nicht um
einen bestimmten Zeitpunkt eines Tages, kann TMP3 zu null gesetzt
werden.
- Berechne das Julianische Datum JD:
JD = 1 720 996.5 + 365*JAHR+ TMP1+ TMP2+ TAG+ TMP3 |
|
File translated from TEX by TTH, version 2.00.
On 30 Nov 2000, 13:39.